Rebuscando entre los comandos de Microsoft Azure PowerShell he encontrado uno que te aseguro que te será de utilidad en más de una ocasión: Move-AzureResource. Gracias a este comando serás capaz de mover recursos de un Resource Group a otro de forma sencilla.

Para mostrártelo con un ejemplo, tengo un grupo llamado JackShephard con una cuenta de Azure Storage y quiero moverla a un nuevo grupo llamado JohnLocke. Para ello, basta con lanzar el siguiente script que creará y moverá el recurso al nuevo grupo:

Switch-AzureMode AzureResourceManager
New-AzureResourceGroup -Name "JohnLocke" -Location "West Europe"
Get-AzureResource -Name "returngisstore" | Move-AzureResource -DestinationResourceGroupName "JohnLocke"

Hay que tener en cuenta que la región donde está ubicada el recurso no se verá afectada, pero podrás reorganizar tus recursos siempre que lo necesites.

¡Saludos!